求助，如何证明泊松公式

求助，如何证明泊松公式

泊松方程为△φ=f
在这里 △代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
拉普拉斯方程
因此泊松方程通常写成

或
泊松方程
在三维直角坐标系，可以写成

如果没有f， 这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。现在有很多种数值解。像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。

静电场的泊松方程
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泊松方程是描述静电势函数V与其源（电荷）之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度（ρ=▽·D，D为电位移矢量。），ε为介电常数绝对值εr*εo。

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