12.设方程f ( x + y + z, x, x + y)=0确定函数z = z ( x, y ),其中f为可微函数，求 和 .

求答案，和文字解释

设函数f对x、y、z的偏导数分别为f'x、f'y、f'z，函数z的偏导数记为z'x、z'y。
将方程两边分别对x、y、z求导，有下列三式：
f'x*(1+z'x)+f'y+f'z=0；……（x、y互相独立）
f'x*(1+z'y)+f'y+f'z=0；……（x、y互相独立）
f'x((1/z'x)+(1/z'y)+1)+f'y*(1/z'x)+f'z*(1/z'x+1/z'y)=0；
由前二式得：z'x=z'y，(f'x+f'y+f')=-f'x*z'x；
由上列第三式：f'x*(1+(2/z'x))+f'y*(1/z'x)+f'z*(2/z'x)=0；
代入得：f'x-f'y*(1/z'x)+2*(-f'x*z'x)/z'x=0；
即：f'x+f'y/z'x=0；
所以z'x=-f'x/f'y=z'y；
-f'x/f'y＝dx/dy可以看作x对y的全导数；
于是函数可表示为：x=∫(dx/dy)dy=∫(-f'x/f'y)dy=∫(z'y)dy；
供参考。