费马数的性质

费马数的性质

任意两个费马数都互质。
证明如下：设m>n, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根据辗转相除的原理， ，所以任意两个费马数都互质。
费马数满足以下的递回关系：

其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。
其他性质： Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是 (参见高斯函数). 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。