有关双曲线已知中心在原点的双曲线C：(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N
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解决时间 2021-02-21 19:36
- 提问者网友：浪荡绅士
- 2021-02-21 07:48
有关双曲线已知中心在原点的双曲线C：(x^2)/4-(y^2)/5=1,斜率为k的直线l交c于M和N
最佳答案
- 五星知识达人网友：大漠
- 2021-02-21 08:02
设直线L：y=kx+b（k≠0）,代入(x^2)/4-(y^2)/5=1,得x^2(5-4k^2)-8kbx-4b^2-20=0,(x1+x2)/2=4kb/(5-4k^2),(y1+y2)/2=5b/(5-4k^2),▲=64k^2b^2+4(5-4k^2)(4b^2+20)>0,得b^2>4k^2-5.所以MN的中点坐标为[4kb/(5-4k^2),5b/(5-4k^2)],MN的垂直平分线的斜率为-1/k,则MN的垂直平分线方程为：y-5b/(5-4k^2)=-1/k[x-4kb/(5-4k^2)],y=-x/k+9b/(5-4k^2),当x=0时,y=9b/(5-4k^2)；当y=0时,x=9kb/(5-4k^2)；由题MN的垂直平分线与两坐标轴围成的面积为81/2,所以1/2*│9b/(5-4k^2)│*│9kb/(5-4k^2)│=81/2,│b/(5-4k^2)│*│kb/(5-4k^2)│=1,│kb^2/(5-4k^2)^2│=1,b^2=(5-4k^2)^2/│k│,又由上面得b^2>4k^2-5,所以(5-4k^2)^2/│k│>4k^2-5,（4k^2-5）（4k^2-5-│k│）>0,(2│k│-√5)(2│k│+√5)(4│k│-5)(│k│+1)>0,即解(2│k│-√5)(4│k│-5)>0,结合k≠0得k范围为（-∞,-5/4）∪（-√5/2,0）∪（0,√5/2）∪（5/4,+∞）.
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- 1楼网友：春色三分
- 2021-02-21 09:14
这下我知道了
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