为什么已知P为三角形ABC所在平面内一点,且PA+PB+PC=0 就可知这三角形是等边三角形且点p为三角形的中心？

为什么已知P为三角形ABC所在平面内一点,且PA+PB+PC=0 就可知这三角形是等边三角形且点p为三角形的中心？

已知PA+PB+PC=0，即
因为PA+PB+PC=PA+BA+PC+CB+PA+AC
=PA+PB+PC+BA+CB+AC
=BA+CB+AC=0
所以AB=BC=CA,所以三角形是等边三角形，因为向量的摸所以PA=PB=PC,所以P为三角形的中心

为了便于证明，我做一些修改，记等边三角形边长为l（不用原题中的a），pa=a,pb=b,pc=c

如图，由p做三边的垂线，不难知道，

pa(cos∠3+cos∠4)+pb(cos∠5+cos∠6)+pc(cos∠1+cos∠2)=3l

利用余弦的和差化积公式得

2pa*cos30*cos[(∠3-∠4)/2]+2pb*cos30*cos[(∠5-∠6)/2]+2pc*cos30*cos[(∠1-∠2)/2]=3l

pa*cos[(∠3-∠4)/2]+pb*cos[(∠5-∠6)/2]+pc*cos[(∠1-∠2)/2]=√3l

(2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]*pa+(2/√3)*cos[(∠5-∠6)/2]*pb+(2/√3)*cos[(∠1-∠2)/2]*pc=2l

因为(∠3-∠4)/2∈(-30,30)

所以cos[(∠3-∠4)/2]∈(√3/2,1)

所以(2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]∈(1，2/√3)

若分别记(2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]=k,(2/√3)*cos[(∠5-∠6)/2]=m,(2/√3)*cos[(∠1-∠2)/2]=n

则kpa+mpb+npc=2l

由于k,m,n∈(1，2/√3)

所以pa+pb+pc∈（√3l，2l）