高二的数学。。。

A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）：

1.求证A、B两点的横坐标之积为定值；

2.求证直线AB经过一定点；

3.求线段AB的中点的轨迹方程。

1)设A(x1,y1) B(x2,y2) OA斜率k1 OB斜率k2

OA⊥OB则k1*k2=-1 即(y1/x1)*(y2/x2)=-1

两边平方 并代入y1^2=2px1 ,y2^2=2px2

得x1x2=4p^2

2) kAB=(y1-y2)/(x1-x2)=(y1-y2)/(y1^2/2p-y2^2/2p)=2p/(y1+y2)

AB方程 y-(y1+y2)/2=2p/(y1+y2) *(x-(x1+x2)/2)

化简（y1+y2）y=2px-p(x1+x2)+(y1+y2)^2/2

=2px-p(x1+x2)+y1^2/2+y2^2/2+y1y2

=2px-p(x1+x2)+px1+px2+y1y2

=2px+y1y2=2px-x2x2=2px-4p^2

即(y1+y2)y=2p(x-2p) 可知AB过(2p,0)

3)设AB中点(x,y)

x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2

y^2=(y1+y2)^2/4=(y1^2+y2^2+2y1y2)/4=(2px1+2px2-8p^2)/4=px/4-2p^2

AB的中点的轨迹方程y^2=px/4-2p^2

1. 设向量OA=(x1,y1) OB=(x2,y2) OA*OB=0 x1*x2+y1*y2=0 把 y^2=2px 代入 可得 x1x2=4 p 又p>0 所以 A、B两点的横坐标之积为定值

2.设AB所在直线L方程为y=kx+b 联立： y=kx+b y^2=2px ky＾-2py+2pb=0 y1+y2=2p/k y1y2=2pb/k=-4p＾ k=-pb/2 ∴L： 2y+b（px-1）=0 L必过（1/p，0）点。

3.设 AB中点为（x,y) x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2 又由一知道x1x2=4p