一道数学计算

2009的2009次方除以11的余数``` 要求方法

2009=11*182+7 根据二项式展开定理转化为7的2009次方

7的11次方为7的倍数 转化为7的7次方 最后求出为6

引入符号mod

“ a=b mod m ” 表示a除以m的余数为b

则有

2009=7 mod 11

2009^2=7^2 mod 11 即 2009^2=5 mod 11

2009^3=7^3 mod 11 即 2009^3=2 mod 11

2009^5=7^5 mod 11 即 2009^5=10 mod 11

2009^6=7^6 mod 11 即 2009^6=4 mod 11

2009^7=7^7 mod 11 即 2009^7=6 mod 11

2009^8=7^8 mod 11 即 2009^8=2 mod 11

2009^9=7^9 mod 11 即 2009^9=8 mod 11

2009^10=7^10 mod 11 即 2009^10=1 mod 11

因此可知2009的20次方，30次方，40次方……除以11的余数都是1

所以2009的2000次方除以11的余数也是1

最后2009^2009=（2009^2000）*（2009^9）

它除以11的余数等于2009^9除以11的余数，也就是8

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如果你知道费马小定理，那么前面的推理全部可以省略

费马小定理

{{{{

若a是整数，p是素数，那么a^p=a mod p

又若a不是p的倍数，则上式可写为a^(p_1)=1 mod p

}}}}

由费马小定理一下可以看出2009^10=1 mod 11

先明确这个数除以11的余数不可能为10所以它的余数是个位上的，所以只要求9的2009次方的个位数就行，将9一次次方后会发现其个位数是有规律的，也就是在几个数之间不断循环，所以只要找到第2009时的那个数就为这个余数了。