3.证明y=sinxsin √2x不是周期函数

3.证明y=sinxsin √2x不是周期函数

反证法。设f(x)=sin(x√2)+sinx,存在T>0,使得f(x+T)=f(x),即
sin[(x+T)√2]+sin(x+T)=sin(x√2）+sinx,
∴sin[(x+T)√2]-sin(x√2）=sinx-sin(x+T）
令x=0,得sin(T√2)=-sinT,（*）
∴T√2=π-T或（+1)π+T,k∈Z,
解得T=2(√2-1）kπ，①或T=(+1)(√2+1）π，②
令x=π√2,得sin(T√2）=sin(π√2）-sin（π√2+T),③
把(*)代入③，-sinT=sin(π√2）-sin（π√2+T),
∴sin（π√2+T)-sinT=sin(π√2),
∴2sin(π/√2)cos(π/√2+T)=2sin(π/√2)cos(π/√2），
∴cos(π/√2+T)=cos(π/√2），
∴T+π/√2=2mπ土π/√2，m∈Z,
∴T=2mπ,或T=2mπ-π√2，与①、②矛盾。
∴命题成立。