21.(本题8分)如图,BC为⊙O的直径,点A为⊙O上一点,点E为△ABC的内心,OE⊥EC (1) 若

21.(本题8分)如图,BC为⊙O的直径,点A为⊙O上一点,点E为△ABC的内心,OE⊥EC (1) 若

（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AB=AC ∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC， ∴∠1=∠B=45°， ∵PE⊥AB ∴∠2=∠1=45° ∴∠4=∠3=45°，则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形． ∵AP=l，AB=4， ∴AF=2 ，OA=22 ， ∴OE=OF=2 ， ∴△OEF的面积为1 2 ?OE?OF=1． （2）①∵FP=AP=a， ∴S1=1 2 a2 且AF=2 a， ∴OE=OF=22 -2 a=2 （2-a）， ∴S2=1 2 ?OE?OF=（2-a）2 ∵S1=S2 ∴1 2 a2=（2-a）2 ∴a=4±22 ∵0＜a＜2 ∴a＝4?22 ． ②S=S1+S2=1 2 a2+（2-a）2=3 2 a2-4a+4=3 2 （a-4 3 ）2+4 3 ， ∴当a＝4 3 时，S取得最小值为4 3 ， ∵15 3 ＜4 3 ， ∴不存在这样实数a，使S＜15 3 ．