代数拓扑问题：

代数拓扑问题：

(3) yaoxiao0710107已经回答了，是极分解定理。其他的题，我跟yaoxiao0710107一样，也只会说一下想法， 楼主如果不愿意自己了解一些内容，指望完全照抄别人，那我无能为力。

(4) 这个是流形的隐函数定理。因为已经知道GL(n)是流形，考虑从GL(n)到GL(n)的两个映射，f(A)=det(A)-1和g(A)=A A^T - E，其中A^T是转置，E是单位矩阵。SO(n)就是f和g的公共零点。证明这两个映射在任意点都是非退化的（即df和dg在任意点都不是0，这个证明是这个题的主要部分），然后用隐函数定理。

(5) 这个是直接证的，它以一种比较点集拓扑的办法给出了Hopf Fibration。如果z是无穷远点，那么z_2=0，z_1随便，现在|z_1|^2=1，所以这个Fibre是个S^1。否则z_1 / z_2 = z，带回
|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1，
就有
|z_2|^2 (1+|z|^2) = 1。这也是个S^1。

(17) 这个你自己画个图看一下吧，很容易的。在百度这种排版条件下写出这个映射是很麻烦的。

(32) 这个是切除定理和长正和列。把SO(n)离E远的部分都去掉，最后只剩下E的一个邻域，是个m=n(n-1)/2维的实心球（这个维数就是SO(n)作为流形的维数），记成D^m。现在想求H_q (D^m;D^m-point)。回想书上关于链群的短正和列

0-> C (D^m-point) -> C (D^m) -> C(D^m) / C (D^m - point) -> 0

和蛇形引理，得到一个长正和列。这个长正和列中涉及到的H_q (D^m)是可以很直接算出来的，因为D^m可缩；涉及到的H_q (D^m - point)也不难算，因为 D^m - point 形变收缩到 S^ (m-1)。这些，以及如何用这个长正和列来得到结果，就请提问者自己算一下了。

PS: 没给得特别详细，一来是排版不方便（你看我那短正和列写得多难看），二来不想让人直接照抄，起码要自己想一想。希望提问者是在准备期末复习而向别人问一下思路，而不是准备全盘照抄。预祝期末考试顺利吧。追问（3）和（17）都会，第（4）题那个映射度为零怎么证明啊？大致说下思路吧？追答嗯？第(4)题不是让证明那个SO(n)是流形么？证哪个映射的映射度是0？似乎不关映射度的事啊。追问哦，看了一遍你说的隐函数存在定理，不过我们课上根本没提这个啊，我们只讲了同胚，同伦，基本群，同调，V-K定理，正合序列，同伦不变性，切除定理，M-V序列。
能用这里的方法吗？说个大致思路吧，拜托啦！
我是真的想了，也做了，留了三十几道，我现在只剩这道题不会，帮个忙吧，既然努力了，我期待一个好的结果。追答这个本身是分析里面的事情，在几何里涉及到像这个题证明一个东西是流形的时候常用。

隐函数定理，我的想法，首先是一些简单的例子。比如f(x,y)=x^2 + y^2 -1 这个函数，f(x,y)=0表示一个圆。在y不等于0的时候，df/dy = 2y不是0，所以隐函数定理说，圆上的某个点(x_0,y_0)，如果y_0不是0，那么在这个点邻近的地方，这个圆可以用一个函数y=g(x)表示（自然，就是正的或者负的根号下1-x^2，正负取决于y_0本身的正负）。现在假如y_0=0，那么x_0就不是0（因为它是正负1），所以df/dx =2x就不是0，那么在这个点周围，这个圆就可以用一个函数x=h(y)来表示（解析式也很容易写）。现在，在这个圆上，要么df/dx 不是0，要么df/dy不是0，所以圆上每个点，旁边的那一小段弧都能写成一个函数，要么y写成x的函数，要么x写成y的函数，这说明这个圆是个流形。我们知道全微分
df = (df/dx) dx + (df/dy) dy
其中括号里的那两个东西表示偏导数。如果在某个点(x_0,y_0)，df=0，就意味这df/dx和df/dy在这个点(x_0,y_0)都是0。所以我们实际需要的就是，当f=0时（也就是看这个圆上的点），df不是0。换句话说，假如在f的零点，df总不是0，那么隐函数定理就告诉我们f的零点集是个流形（流形的光滑性取决于f的光滑性，隐函数定理可以保证：f是多少次可微的，这个流形就是多少次可微的，只不过在证明隐函数定理的时候这部分比较麻烦）。

回到你原来的问题，取f(A)=A A^T - E ，那么正交矩阵就是f(A)=0的那些矩阵。当然，这个0不是个数，但隐函数定理不难推广到这种情形，只是那个流形的维数要下降而已。这样，只要证明f=0时df不是0，就可以证明O(n)是个流形，那么它的一个连通分支，即SO(n)，也是个流形。追问嗯！明白了，谢谢你的耐心回答！
另外不知道这样做行不行，SO(n)为行列式为取值1的n阶正交阵，考察行向量，
对第i行来说，限制条件是与前i-1行正交及自身模为一（第一行只要自身模为一这一个条件）。
那么计算总共的自由度为1+...+n-1就是那个答案~
我对这方面还是很感兴趣的，但是我这学期只是凑个热闹，因为不是学物理或是基础的~追答啊，其实你说的这件事情是在算这个流形的维数。最主要的还是证明df不是0，举这么个例子吧：

假如实三维空间上的函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1，那么f(x,y,z)=0的点就是单位球面（指那个壳）。df=2xdx+2ydy+2zdz，这个微分在这个单位球面上不是0（要想让df=0，必须x=y=z=0，但它不在这个单位球面上），因此隐函数定理说，它是个流形，而且可以算出维数是2，因为整个空间是3维的，现在有一个方程，就是一个限制条件，所以去掉一维，剩下两维。这大概是你所说的自由度。

但是还是实三维空间里，假如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，那么f=0的点就是原点，而在原点上df=0，所以隐函数定理的条件不成立，不能根据隐函数定理说f=0的点是个流形。可以看出来，f=0的点，即原点，虽然是个流形，但是是0维的，维数跟我们按隐函数定理所预想的不一样。

所以，为了让某个函数f的零点集是个流形，并且有正确的维数，这里用到的办法就是证明在f=0时df不是0，否则，即便f=0的点是个流形，维数也可能不如所想。

第三题本质上是矩阵的RS分解，粗糙地讲就是每个矩阵都可以分解成正交矩阵和上三角矩阵的乘积，其中上三角矩阵的对角线是正数。追问哦，明白这个了，谢谢！