AB=BA,A有n个互不相同的特征值,试证,B能够表示为A的多项式
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解决时间 2021-01-24 17:40
- 提问者网友：送舟行
- 2021-01-24 07:35
AB=BA,A有n个互不相同的特征值,试证,B能够表示为A的多项式
最佳答案
- 五星知识达人网友：一秋
- 2021-01-24 09:13
由A有n个互不相同的特征值, A可对角化.
即存在可逆矩阵T使C = T^(-1)AT为对角阵.
记D = T^(-1)BT, 由AB = BA得CD = DC.
而C的对角元互不相同, 故与C可交换的只有对角阵, 即D为对角阵.
设C = diag{c1, c2,..., cn}, D = diag{d1, d2,..., dn}.
存在多项式f使f(c1) = d1, f(c2) = d2,..., f(cn) = fn.
可知f(C) = D, 从而f(A) = f(TCT^(-1)) = Tf(C)T^(-1) = TDT^(-1) = B.
即存在可逆矩阵T使C = T^(-1)AT为对角阵.
记D = T^(-1)BT, 由AB = BA得CD = DC.
而C的对角元互不相同, 故与C可交换的只有对角阵, 即D为对角阵.
设C = diag{c1, c2,..., cn}, D = diag{d1, d2,..., dn}.
存在多项式f使f(c1) = d1, f(c2) = d2,..., f(cn) = fn.
可知f(C) = D, 从而f(A) = f(TCT^(-1)) = Tf(C)T^(-1) = TDT^(-1) = B.
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