一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛

一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛

（1）令y=0,得x2-1=0解得x=±1,令x=0,得y=-1∴A（-1,0）,B（1,0）,C（0,-1）；（2分）（2）∵OA=OB=OC=1,∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．∵AP∥CB,∴∠PAB=45°．过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形,令OE=a,则PE=a+1,∴P（a,a+1）．∵点P在抛物线y=x2-1上,∴a+1=a2-1．解得a1=2,a2=-1（不合题意,舍去）．∴PE=3（4分）．∴四边形ACBP的面积S= 12AB•OC+ 12AB•PE= 12×2×1+ 12×2×3=4；（6分）（3）假设存在∵∠PAB=∠BAC=45°,∴PA⊥AC∵MG⊥x轴于点G,∴∠MGA=∠PAC=90°在Rt△AOC中,OA=OC=1,∴AC= 2在Rt△PAE中,AE=PE=3,∴AP=3 2（7分）设M点的横坐标为m,则M（m,m2-1）①点M在y轴左侧时,则m＜-1．（ⅰ）当△AMG∽△PCA时,有 AGPA=MGCA．∵AG=-m-1,MG=m2-1．即 -m-132=m2-12解得m1=-1（舍去）m2= 23（舍去）．（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,即 -m-12=m2-132．解得：m=-1（舍去）m2=-2．∴M（-2,3）（10分）．②点M在y轴右侧时,则m＞1（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有 AGPA=MGCA∵AG=m+1,MG=m2-1∴ m+132=m2-12解得m1=-1（舍去）m2= 43．∴M（ 43,79）．（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,即 m+12=m2-132．解得：m1=-1（舍去）m2=4,∴M（4,15）．∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似M点的坐标为（-2,3）,（ 43,79）,（4,15）======以下答案可供参考======供参考答案1:（1）、抛物线y=x^2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，所以A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）、（0，-1

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