a.b.c>0,a2+b2=c2求(1+c/a)(1+c/b最小值
答案:1 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-12-04 05:47
- 提问者网友：一抹荒凉废墟
- 2021-12-03 18:07
a.b.c>0,a2+b2=c2求(1+c/a)(1+c/b最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-12-03 19:39
a、b>0且a²+b²=c²，
则a、b、c是斜边为c的直角三角形三边.
故可设a/c=sinθ，b/c=cosθ.
依柯西不等式得
(1+c/a)(1+c/b)
=(1+1/sinθ)(1+1/cosθ)
≥[1+1/√(sinθcosθ)]²
=[1+√2/√(sin2θ)]²
≥(1+√2)²
=3+2√2.
以上两个不等号同时取等时，
θ=45°
∴a=b=(√2/2)c时，
所求最小值为: 3+2√2。
则a、b、c是斜边为c的直角三角形三边.
故可设a/c=sinθ，b/c=cosθ.
依柯西不等式得
(1+c/a)(1+c/b)
=(1+1/sinθ)(1+1/cosθ)
≥[1+1/√(sinθcosθ)]²
=[1+√2/√(sin2θ)]²
≥(1+√2)²
=3+2√2.
以上两个不等号同时取等时，
θ=45°
∴a=b=(√2/2)c时，
所求最小值为: 3+2√2。
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