求证(1+x)(1+x的平方)(1+x的四次方)(1+x的八次方)=1+x+x的平方+x的三次方+......+x的十五次方。

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1+x+x的平方+x的三次方+......+x的十五次方

=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)...+x^14(1+x)

=(1+x)(1+x^2+x^4+...+x^14)

=(1+x)[(1+x^2)+x^4(1+x^2)+...+x^12(1+x^2)]

=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8+x^12)

=(1+x)(1+x^2)[(1+x^4)+x^8(1+x^4)]

=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)

=左边

原题得证。

1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+x(1+x)的立方一直到+x(1+x)的2007次方+x(1+x)的2008次方 =(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+x(1+x)的立方一直到+x(1+x)的2007次方] =(1+x)^2[1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+x(1+x)的立方一直到+x(1+x)的2006次方] =(1+x)^2008*(1+x) =(1+x)^2009

把等号右边的式子乘（x-1) =(x-1)+(x^2-x)+(x^3-x^2)+(x^4-x^3)+……+(x^15-x^14)+(x^16-x^15) =x^16-1 把等号左边的式子乘（x-1) =(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) =(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1） =(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1) =(x^8-1)(x^8+1) =x^16-1 等号的两边同乘一个数，得到的积一样。由此可知等式成立。