如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动

其中點P从A出发沿AC边一直移动到点C为止，点Q从B出发沿BA边一直移动到点A为止。

1.写出AP的长y1和Aq的长y2关于时间t的函数，并分别写出它们的定义域

2、经过多少时间后，△APQ与△ABCD相似

3.在整个过程中，是否存在使△APQ的面积恰好为△ABCD面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间。

解：（1）由题意得：y₁=2t（0≤t≤6），y₂=16-t（0≤t≤16）．（4分）

（2）当0≤t≤6时，
①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC．
∴

AQ

AB

=

AP

AC

．
∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2t，AQ=16-t，
∴

16-t

16

=

2t

12

，
解得：t=

48

11

（2分）
②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，
则有△AQP∽△ACB
∴

AQ

AC

=

AP

AB

∴

16-t

12

=

2t

16

，
解得：t=6.4、（不符合题意，舍去）（1分）
当6≤t≤16时，点P与C重合
∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB时，有△AQC∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AC

AB

∴

16-t

12

=

12

16

，
解得：t=7 （1分）
综上所述：
在0≤t≤6中，当t=

48

11

时，△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中，当t=7时，△AQC∽△ACB （1分）

（3）当0≤t≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E，
∴PD=APsin∠A，CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面积恰好为△ABC面积一半，
那么

S△APQ

S△ABC

=

AQ•PD

AB•CE

，
∴

AQ•PD

AB•CE

=

1

2

，
得：t²-16t+48=0，
解得：t=4或者t=12（舍去）（2分）．
当6≤t≤16时，点P与C重合，
即

S△AQC

S△ABC

=

AQ

AB

，
如果△AQC的面积恰好为△ABC面积一半，
那么

16-t

16

=

1

2

，
解得：t=8 （1分）．
综上所述：
在0≤t≤6中，当t=4时，△APQ的面积恰好为△ABC面积一半；
在6≤t≤16中，当t=8时，△AQC的面积恰好为△ABC面积一半．