混沌的耗散系统的混沌

混沌的耗散系统的混沌

混沌运动的直观形象，在随能量不断耗散而自由度降低的耗散系统中看得更清楚。1963年美国气象学家E.洛伦茨在研究对天气至关紧要的热对流问题时，把包含无穷多自由度的热对流偏微分方程简化为三个变量的一阶非线性常微分方程组：
dx/dt=－σx+σy
dy/dt=rx－y－xz
dz/dt=bz+xy
式中变量x表示大气对流强度，y表示上升流与下降流温差，z表示垂直温度剖面变化。系数σ为普朗特数，r为瑞利数，b为量度水平温度结构与垂直温度结构衰减率之差异。洛伦茨选定σ=10，r=28，b=8/3，然后数值求解方程组。结果发现，这极度简化了的系统，出现了极为复杂的运动形式。起始值的细微变化，足以使轨道全然改观。把数值计算结果在由x,y,z支撑的三维相空间中画出来，轨道如上图所示。这是一条在三维空间似乎无序地左右回旋的连续光滑曲线，它并不自我相交，呈现复杂的结构纹样。无论初始值选取在哪里，系统轨道有同一归宿，形成所谓奇怪吸引子。在奇怪吸引子上，如果选取任意接近的两个点为初始值，其运动轨迹以指数方式迅速分离，表现出对初值的极端敏感。具体的是，轨道左右跳动的顺序和次数完全不同。计算表明，初始位置几乎会聚在一起的10,000个点，稍后便会在图中所示的吸引子上到处分布，说明这样的系统中，由于初值的细微不同，运动是不可预测的。
确定性耗散系统运动最终局限在低维吸引子上的现象十分常见。如阻尼摆因受到阻力而停摆，其吸引子称为不动点；适当输入能量抵消耗散，钟摆仍可保持某种周期摆动，此时吸引子为极限环。这类吸引子不存在初值敏感性，故称为平庸吸引子。 　　洛伦茨吸引子是耗散系统中发现的第一个奇怪吸引子，此后相继在许多非线性系统中找到形形色色的奇怪吸引子，诸如天体运动模型中的埃农吸引子，描述非线性振动的范德波尔方程的上田吸引子，描述化学振荡的布鲁塞尔吸引子等。奇怪吸引子具有一些独特的性质：①在它上面运动轨道对初值极度敏感，不可预测；②它具有分形结构，局部与整体相似。计算表明，洛伦茨吸引子的分维数为2.06。奇怪吸引子还具有各态历经性，即在相空间中曲折来回穿插的运动轨道经过吸引子上的每一点。
表征混沌中无序现象的两个基本特点是：不可预言性和对于初始值的极端敏感依赖性。这是由E.洛伦茨研究天气预报中大气流动问题时首先揭示的。他通过编制程序在计算机上求解模拟地球大气的一个方程组，发现只要作为实验出发点的初始值有一个微不足道的差异，在混沌状态下同一种过程将导致截然不同的图像。而且由于不可能以无限的精度测量初始值，因此不可能预言任何混沌系统的最后结果。洛伦茨还发现，尽管混沌看起来是杂乱无章的，但仍然具有某种条理性，根据计算机输出的几千个可能的解打印的数字只是在某种状态的范围内是随机分布的。正如每日的天气可以有无穷多不可预测的组态，而逐年的气候多少保持某种稳定性。这种内在有序性的源泉是一种被数学家称之为吸引子的东西，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某个终态而得名。洛伦茨模型的吸引子是一类奇异吸引子，方程的解将无限趋近于此奇异吸引子，来回盘旋形成浑然一体的左右两簇，宛如颤动中的一对蝴蝶翅膀（见上图）。
混沌的一个著名表述是蝴蝶效应：“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。”