求函数f(x,y)=(6x-x²)(4y-y²)的极值

求函数f(x,y)=(6x-x²)(4y-y²)的极值

∂f/∂x=(6-2x)(4y-y²)
∂f/∂y=(6x-x²)(4-2y)
驻点(3,2) (0,0)(6,0)(0,4)(6,4)
∂²f/∂x²=-2(4y-y²)
∂²f/∂y²=-2(6x-x²)
∂²f/∂x∂y=(6-2x)(4-2y)

∴(3,2)是极大值点，极大值=36 （其余均不是极值点）

f(x，y)=(6x-x²)(4y-y²)=24xy-4x²y-6xy²+x²y²
令∂f/∂x=24y-8xy-6y²+2xy²=2y(12-4x-3y+xy)=0；得y₁=0；12-4x-3y+xy=0.........①
再令∂f/∂y=24x-4x²-12xy+2x²y=2x(12-2x-6y+xy)=0; 得x₁=0；12-2x-6y+xy=0......②
由①②联立解得驻点M₁(0，0)；M₂(3，2)；M₃(6，4).
对三个驻点求相应的二阶偏导数：
A=∂²f/∂x²=-8y+2y²；B=∂²f/∂x∂y=24-8x-12y+4xy；C=∂²f/∂y²=-12x+2x²;
对M₁(0，0)，因为A=0，B=24，C=0；B²-AC=576>0; 故M₁不是极值点；
对M₂(3，2)：A=-8<0；B=0；C=-18；B²-AC=-104<0; 故M₂是极大点，
f(x)的极大值=f(3，2)=(18-9)(8-4)=36；
对M₃(6，4): A=0；B=24；C=-40；B²-AC=576-0=576>0；故M₃不是极值点。
即x=3，y=2时f(x)获得极大值36.