高中数学立体几何问题

在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球〔与四个面都相切的球〕球心O，且与BC、DC分别截于E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别为S1、S2。证明S1=S2

证明：
因为截面过内接球球心，则
VA-EFC=(1/3)(S△AEC+S△AFC+S△EFC)r
VA-BEFD=(1/3)(S◇BDEF+S△ADF+S△ABE+S△ABD)r
∵VA-EFC=VA-BEFD，又∵△AEF为公共面
∴S1=S2

设底正六边形为ABCDEF，边长为a，顶点为O过O作底面上的高交底于G，连接AG,CG，过A在平面ABO中作BO的垂线，交OB于H，连接CH，AC，过O在平面OAB中作AB的垂线交AB于M∵三角莆AHO是直角三角形∴OA＝√(h^2+a^2)∵O-ABCDEF是正六棱锥∴三角形OAB是等腰三角形 AM=AB/2＝2/a∵三角形AOM是直角三角形∴OM＝√(OA^2-AM^2)=√(h^2+a^2-a^2/4)=√(h^2+3a^2/4)三角形ABO面积＝AB*OM/2=AG*OB/2a*√(h^2+3a^2/4)=AG*√(h^2+a^2)AG^2=a^2*(h^2+3a^2/4)/(h^2+a^2)三角形ACG中，AC^2=AG^2+CG^2-2AG*CGcos角AGC由于是正六棱锥，GC垂直BO，角AGC即为两侧面的夹角＝2arcsin[½(3√2﹣√6)]设β＝arcsin[½(3√2﹣√6)]AC=2a4a^2＝2a^2*(h^2+3a^2/4)/(h^2+a^2)（1-cos角AGC）8(h^2+a^2)=(4h^2+3a^2)(1-cos角AGC）cos角AGC＝cos2β=1-2(sinβ)^2=1-2(½(3√2﹣√6)^2=6√3-118h^2+8a^2=4(6√3-11)h^2+3(6√3-11)a^2(41-18√3)a^2=4(6√3-13)h^2a^2=4(6√3-13)h^2/[(41-18√3)]体积＝底面积×高/3＝6*√3/2*a^2*h/3=√3*a^2h=√3*4(6√3-13)h^3/[(41-18√3)]=4(18-13√3)h^3/[(41-18√3)]