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你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现?

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解决时间 2021-02-14 13:13
你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现?
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黄金比例
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后一个数是前两个数的和。繁分数分母总是大于1,所以的值总是小于1 而分子总是取先前的分母,除了第一次分子分母均是1时,值等于1/2,后来的值均大于1/2 而每次计算繁分数时,繁分数分母中的分母总是不变,分子总是先前分子与分母之和 这就完全符合斐波那契数列的展开规律 那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢? 也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢? 设:x=1/(1+1/(1+1/(1+...))) 显然有:x=1/(1+x) 即:x^2+x-1=0 x=(√5-1)/2=0.618...(舍去负值) 这就是黄金分割比例,也是斐波那契数列连续两项之比的极限 这就是楼主所说的:“越来越接近黄金比例”的原因。 所谓“随n的增加,两数之间的差距越来越小”,其实就是越来越接近极限嘛。 那为什么“任意两数不断相加”都这样呢? 黄金分割比例其实是个中外比的问题: 所谓中外比,就是分已知线段为两部分,使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。 如果把较长的一段设为x,则较短的一段为1-x 所以,x^2=1*(1-x) 【其中“1”表示全线段】 即:x^2+x-1=0,与上面解最简单的无穷连分数的方程完全一致 注意这里的全线段用1来表示,这就是说求黄金分割比例与线段的实际长度无关 同样道理,对于斐波那契数列的展开,如果考察的是前后两项的比例 那么,从哪两个数开始相加,就是无所谓的了 因为总是两个数中的大数与两数和之比,这与黄金分割的中外比完全是一个意思 况且除了第一个比值还不是与“和”比之外,其他所有比值总是在0.5和1之间 如果开始的两个数不相同,那么:m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,... 可见还是按斐波那契数列规律在展开,当然这是大致理解,严格的证明要看相关资料 再想想看,如果斐波那契数列最开始两个数是1和2呢?不同了吧。 还不是一样展开,除少了第一项外,其他并没有什么不同。 如果开始的两个数相同,那么:m,m,2m,3m,...其实就是斐波那契数列, 只是每个数差个m倍而已,完全不影响连续两项之比的值。而且从第3项开始,a前的系数恰好构成斐波那契数列; 从第2项开始,b前的系数恰好构成斐波那契数列; 于是,由斐波那契数列通项公式有: 第n个数a前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-2) - [(1-√5)/2]^(n-2)} 第n个数b前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)} 所以第n个数(n≥3)为: (1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-2) - [(1-√5)/2]^(n-2)}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)}*b。
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