在三角形abc中已知∠a=90 ab=ac d 为 ac的中点

在三角形abc中已知∠a=90 ab=ac d 为 ac的中点 d为ac中点 ae⊥bd于e 延长ae交bc于f 求证∠adb=∠cdf

作CG垂直于BD的延长线于G
易证三角形AED与三角形CGD全等
所以 ED=DG
因为 ∠AED = 90° =∠BEA ；
∠ADE = 90° - ∠BAD = ∠BAE，
所以三角形AED与三角形BEA相似
所以 ED/AE = AE/BE = AD/BA = AD/AC = 1/2
所以 ED/BE = 1/4
所以 BE/BG = BE/(BE+ED+DG) = BE/(BE+2ED) = 2/3
因为 AF//CD，所以三角形BEF与三角形BGC相似
所以 BF/BC = BE/BG = 2/3
所以 BF/FC = BF/(BC-BF) = 2/1
因为 AB/DC = 2/1 = BF/FC 
而 ∠ABF = ∠DCF = 45°
所以△ABF与△DCF相似
所以 ∠BAF = ∠CDF
又因为∠ADB = 90° - ∠BAD = ∠BAF，
所以 ∠ADB = ∠CDF

证明：过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H。 设AG=1,那么CG=1   DH=1/2  BH=3/2 tan∠DBH=1/3 ∠GAF=∠DBH  所以GF=AG/3=1/3 FH=GH-GF=1/2 -1/3 =1/6 tan∠FDH=FH/DH=1/3 所以∠DBH=∠FDH ∠ADB=∠DBH+∠C ∠CDF==∠FDH+∠CDH 所以:∠ADB=∠CDF