在平面直角坐标系xOy中，已知F 1 （-4，0），直线l：x=-2，动点M到F 1 的距离是它到定直线l距离的

在平面直角坐标系xOy中，已知F 1 （-4，0），直线l：x=-2，动点M到F 1 的距离是它到定直线l距离的 2 倍．设动点M的轨迹曲线为E．（1）求曲线E的轨迹方程．（2）设点F 2 （4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F 1 、F 2 到m的距离分别为d 1 ，d 2 ，试判断d 1 d 2 是否为常数，请说明理由．

（1）由题意，设点M（x，y），则有 |M F 1 |=


(x+4) 2 + y 2 ，点M（x，y）到直线的距离d=|x-（-2）|=|x+2|，故


(x+4) 2 + y 2 =


2 |x+2| ，化简后得：x 2 -y 2 =8．
故动点M的轨迹方程为x 2 -y 2 =8
（2）d 1 d 2 是常数，证明如下：
若切线m斜率不存在，则切线方程为 x=±2


2 ，此时 d 1 d 2 =(c+a)(c-a)= b 2 =8
当切线m斜率存在时，设切线m：y=kx+b，代入x 2 -y 2 =8，整理得：x 2 -（kx+b） 2 =8，
∴（1-k 2 ）x 2 -2bkx-（b 2 +8）=0
由△=（-2bk） 2 +4（1-k 2 ）（b 2 +8）=0，化简得：b 2 =8k 2 -8
又由m：kx-y+b=0，∴ d 1 =
|-4k+b|



k 2 +1 ，     d 2 =
|4k+b|



k 2 +1 ，
∴ d 1 d 2 =
|16 k 2 - b 2 |
k 2 +1 =
|16 k 2 -(8 k 2 -8)|
k 2 +1 =8 =常数．
综上，故对任意切线m，d 1 d 2 是常数

（1）设p（x，y）， 由抛物线定义知点p的轨迹e为抛物线， 其方程为：y 2 =4x． （2）l：y=x-1，代入y 2 =4x，消去x，得y 2 -4y-4=0， 设a（x 1 ，y 1 ），b（x 2 ，y 2 ），则y 1，2 =2±2 2 ∴|y 1 -y 2 |=4 2 ∴△aob的面积： 1 2 ×of×|  y 1  - y 2 | = 1 2 ×1×4 2 =2 2 ．