1*2+2*3+3*4……n（n+1）（n+2）=？

答案是几？

1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n(n+1)(n+2)
=1/4[1*2*3*4]+1/4[2*3*4*5-1*2*3*4]+1/4[3*4*5*6-2*3*4*5]+...+1/4[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
=1/4[1*2*3*4+2*3*4*5-1*2*3*4+3*4*5*6-2*3*4*5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
=1/4*n(n+1)(n+2)(n+3)

利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2 (n-1)^2 n(n-1)] =n^2 (n-1)^2 n^2-n =2*n^2 (n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2 1^2-2 3^3-2^3=2*3^2 2^2-3 4^3-3^3=2*4^2 3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2 (n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2 3^2 ... n^2) [1^2 2^2 ... (n-1)^2]-(2 3 4 ... n) n^3-1=2*(1^2 2^2 3^2 ... n^2)-2 [1^2 2^2 ... (n-1)^2 n^2]-n^2-(2 3 4 ... n) n^3-1=3*(1^2 2^2 3^2 ... n^2)-2-n^2-(1 2 3 ... n) 1 n^3-1=3(1^2 2^2 ... n^2)-1-n^2-n(n 1)/2 3(1^2 2^2 ... n^2)=n^3 n^2 n(n 1)/2=(n/2)(2n^2 2n n 1) =(n/2)(n 1)(2n 1) 1^2 2^2 3^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6 另外一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形， 第一行1个圈，圈内的数字为1 第二行2个圈，圈内的数字都为2， 以此类推 第n行n个圈，圈内的数字都为n， 我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r 下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形 然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加， 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n 1 而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和 1 2 …… n=n(n 1)/2 于是3r=[n(n 1)/2]*(2n 1) r=n(n 1)(2n 1)/6