2008湖北数学高考试卷

2008湖北数学高考试卷

中学学科网2008年高考湖北卷理科数学试题全解全析

绝密★启用前

数　　学（理工农医类）

本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟

★祝考试顺利★

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=

A.(-15,12)　　　　B.0 C.-3 D.-11

2. 若非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则

A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C. “x∈C”是“x∈A”的充分条件

D. “x∈C” 既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件

【标准答案】２．Ｂ

【试题解析】由韦恩图，知Ｂ正确．

【高考考点】集合的运算的理解和充分条件与必要条件．

【易错提醒】不理解要得到充分条件与必要条件，那个做为条件，那个做结论．

【学科网备考提示】对＂抽象＂的集合问题常用韦恩图来分析问题，这其实是数形结合的思想．

3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为

A. B. C. D. 【标准答案】３．Ｂ

【试题解析】易知球的半径是 ，所以根据球的体积公式知 ，故B为正确答案．

【高考考点】球的体积公式和空间想象能力。

【易错提醒】记错公式。

【学科网备考提示】对立体几何中的公式要牢记在心。

5.将函数y=3sin（x-θ）的图象F按向量（ ，3）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x= ,则θ的一个可能取值是

A. B. C. D.

【标准答案】5．Ａ

【试题解析】依题意可得图象 的解析式为 ,当对称 ，根据选项可知A正确。

【高考考点】图象的平移和三角函数中对称与最值。

【易错提醒】将图象平移错了。

【学科网备考提示】函数图象的平移是考生应掌握的知识点。

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

A.540 B.300 C.180 D.150

【标准答案】6．Ｄ

【试题解析】将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，所以共有 种方案，故Ｄ正确．

【高考考点】考查排列组合的基本知识。

【易错提醒】不知如何分类与分步。

【学科网备考提示】排列组合的问题要注意分类与分步，些题一方面要注意分类与分步，另一方面还要注意如何分组与分配。

7.若f(x)= 上是减函数，则b的取值范围是

A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）

【标准答案】７．Ｃ

【试题解析】由题意可知 ，在 上恒成立，即 在 上恒成立，由于 ，所以 ，故Ｃ为正确答案．

【高考考点】考查导数与单调性的关系，恒成立问题以及不等式的相关问题。

【易错提醒】对在什么时候取等号，什么时候不取等号搞不清楚。

【学科网备考提示】恒成立问题是高考中的常考问题，常与不等式有关。

8.已知m∈N*,a,b∈R，若 ,则a·b=

A．-m B．m C．-1 D．1

【标准答案】８．Ａ

【试题解析】易知 由洛必达法则有 ，所以 ．

【高考考点】考查极限的概念和运算，当然些题可以用二项式定理将 展开后就可以求极限了。

【易错提醒】不知如何求 ，或者是 的展开式写错。

【学科网备考提示】用洛必达法则求极限高中生也应该有所了解，事实际上07年湖北卷的那道和极限有关的题也可以用洛必达法则。

9.过点A（11，2）作圆 的弦，其中弦长为整数的共有

A.16条 B.17条 C.32条 D.34条

【标准答案】９．Ｃ

【试题解析】可知过点 的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有 。

【高考考点】考查圆的方程和计数问题。

【易错提醒】除了最短的弦长与最长的弦长各只有一条外，忽略了其它长度的有两条。

【学科网备考提示】圆中和弦长有关的问题常构造直角三角形较简单。

10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a₁+c₁=a₂+c₂;②a₁-c₁=a₂-c₂;③c₁a₂＞a₁c₁;④ ＜ .

其中正确式子的序号是

A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④

【标准答案】10．Ｂ

【试题解析】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．

【高考考点】椭圆的基本量之间的关系．

【易错提醒】没有抓住问题的关键，用错不等式。

【学科网备考提示】圆锥曲线的基本量之间的关系是高考常考内容，考生应从代数、几何、不等式方面入手。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.

11.设 (其中 表示z₁的共轭复数)，已知z₂的实部是-1，则z₂的虚部为 .

12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为 .

13.已知函数f(x)=x²+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为

.

【标准答案】13．

【试题解析】由题意知 所以

，所以解集为 。

【高考考点】函数解析式与一元二次方程根的求法。

【易错提醒】 的值取错。

【学科网备考提示】掌握常见的函数解析式的求法，还要注意一元二次方程根的情况与 有关。

14.已知函数f(x)=2^x,等差数列{a_x}的公差为2.若f(a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀)=4,则

Log₂[f(a₁)·f(a₂)·f(a)·…·f(a₁₀)]= .

【标准答案】14．

【试题解析】依题意有 。而

【高考考点】等差数列的概念与对数的运算。

【易错提醒】没有注意到 也是成等差数列的。

【学科网备考提示】等差等比数列、对数以及对数函数是高中数学的重要内容，这些内容要熟练掌握。

15.观察下列等式：

【标准答案】15．

【试题解析】由观察可知当 ，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以 ，

第四项均为零，所以 。

【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。

【易错提醒】没有正确理解题意。

【学科网备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数f(t)=

（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；

（Ⅱ）求函数g(x)的值域.

【标准答案】16．

解：（1）

(2)由 ，得 。 在 上为减函数，在 上是增函数 。

又 （当 ）。

即 。

故 的值域为 。

【试题解析】本题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。

【高考考点】函数的定义域、值域，三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。

【易错提醒】容易忽略函数的定义域。

【学科网备考提示】三角函数的常用公式和三角中的恒等变换、代数式的化简变形是高中数学的重要内容，学生应熟练掌握。

17.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.

（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.

【标准答案】17．

解：（1）的分布列为：

	0	1	2	3	4

所以 。

（2）由 ，得 ，即 ，又 ，所以

当 时，由 ，得 ；

当 时，由 ，得 。

，或 ，即为所求。

【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。

【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。

【易错提醒】记错期望和方差的公式，特别是方差的公式。

【学科网备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱 中，平面 侧面

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ,二面角A₁-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.

【标准答案】18．

于是在 中， 在 中， ，

由 ，得 ，又 所以 。

解法2：由（1）知，以点 为坐标原点，以 、 、 所在的直线分 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，

则 ，

于是 ， 。

设平面的一个法向量为 ，则

由 得

可取 ，于是 与 的夹角 为锐角，则 与 互为余角。

所以 ， ，

所以 。

于是由 ，得 ，

即 ，又 所以 。

【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。

【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。

【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。

【学科网备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。

19.（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于2 ，求直线l斜率的取值范围.

【标准答案】19．

（1）解法1：以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，则 ，

由题意得 。

所以曲线 是以原点为中心， 、 为焦点的双曲线。

设实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为 ，

则

所以曲线 的方程为 。

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则由题意可得

所以曲线 是以原点为中心， 、 为焦点的双曲线。

设双曲线的方程为

则由 解得 ，

所以曲线 的方程为 。

（2）解法1：由题意，可设直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程并整理得

……①

因为与双曲线相交不同的两点E、F，

……②

设 则由①式得 ，于是

.

而原点 到直线 的距离 ,

若 面积不小于 ，即 ，则有 ,

解得 ……③

综合②、③知，直线 的斜率的取值范围为 .

解得 ……④

综合②、④知，直线 的斜率的取值范围为 .

【试题解析】本题条件涉及到一动点到两定点距离差的绝对值，容易想到双曲线的定义，所以第（1）问只要求求了出双曲线方程中的 与 。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。

【高考考点】本题考查直线、圆和双曲线等平面几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力和运算能力。

【易错提醒】直线与双曲线有两个交点时，在联立后的一元二次方程的二次项系数不能为零，再就是解不等式后，结果是取交集还是并集，那些地方要带等号那些地方不带等号，这些都考生容量出错的地方。

【学科网备考提示】要牢记圆锥曲线的定义，并会灵活运用；不等式的解法要熟练掌握。

20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）

【标准答案】20．

解：（1）①当时 ，

化简得 ，

解得 .

②当 时， ,

化简得，

解得 .

综上得， ,或 .

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。

（2）由（1）知， 的最大值只能在(4,10)内内达到。

由 ,

令 ，解得 （ 舍去）。

当 变化时， 与 的变化情况如下表：

	(4,8)	8	(8,10)
	+	0	-
		极大值

由上表， 在 时取得最大值 （亿立方米）。

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。

【试题解析】第（1）问实际上就是解不等式，当然要注意问题的转化；第（2）问求最值要先求导再通过单调性求最值。

【高考考点】本题考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。

【易错提醒】不等式解出后在写最后的结果时出错；求导求错。

【学科网备考提示】解不等式是高中数学的重要内容，不等式问题贯穿高中数学的始终；导数是新增加的内容，是处理许多问题的有利工具，是高考的必考内容，考生一定要认真掌握。

21.(本小题满分14分)

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ,a_n+1= 其中λ为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b,S_n为数列{b_n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

【标准答案】21．

（1）证明；假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 ，

即 矛盾。

所以 不是等比数列。

（2）解：因为

又 ，所以

当 时， 些时 不是等比数列；

当 时， 由上可知 。

故当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。

当时 ，存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ，且 的取值范围是 。

【试题解析】第（1）问问的是证明 “不是等比数列”，这样的问题显然用“反证法”；第（2）正着问，那就顺着推；第（3）问要先求和再解建立不等式。

【高考考点】本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理能力。

【易错提醒】本题主要是，没有掌握解题的基本方法，再就是没有分类讨论。

【学科网备考提示】对等比数列、等差数列、数求和的知识要熟练掌握，数列中要特别注意递推关系式的结构。