使不等式sin^n(x)+cos^n(x)>1/2对所有x属于(0,派/2)都成立的最大正整数n是？（速度解决）
答案:1 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-07-17 19:52
- 提问者网友：不爱我么
- 2021-07-16 21:55
如上
最佳答案
- 五星知识达人网友：往事埋风中
- 2021-07-16 23:15
解：
∵x∈(0，π/2)
∴sinx+cosx>sin²x+cos²x>sin³x+cos³x>sin^4x+cos^4x=1-(1/2)·sin²2x≥1/2
∴n≤3
又∵对n≥4，有：
sin^nπ/4+cos^nπ/4=(1/√2)^n+(1/√2)^n≤2·(1/√2)^4=1/2
∴n<4
∴最大正整数为3
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