设f(x)=3ax2+2bx+c,使a+b+c=0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：（1）a＞0且-2＜a/b＜-1. (2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根。

3ax2中的2指的是x的平方

(1)题目应该是求证:a>0且-2<b/a<-1

证明:

已知a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0

∵f(1)=a+2(a+b+c)-c>0

那么a-c>0,即a>c=f(0)>0

得到:a>0

∵a+b+c=0

-(a+b)=c>0

∴b<-a......(L)

∵f(1)=(a+b+c)+2a+b>0

∴b>-2a....(M)

由(L)(M)得到:-2a<b<-a......(N)

∵a>0,(N)式两边同时除以a

得到:-2<b/a<-1

所以,a>0且-2<b/a<-1

(2)二次函数f(x)=3ax^2+bx+c的解析式写成:f(x)=3a[x+b/(3a)]^2+c-b^2/(3a)

其图象是开口向上(3a>0),对称轴是x=-b/(3a)的抛物线

f(x)=0的根的判别式△=4(b^2-3ac)

∵a+b+c=0

b^2=(a+c)^2=a^2+c^2+2ac

∴b^2-3ac=a^2+c^2-ac=(a-c/2)^2+c^2/4>0

∵-2<b/a<-1

-2/3<b/(3a)<-1/3

1/3<-b/(3a)<2/3

∴对称轴x=-b/(3a) 在(0,1)内

f(1)>0

f(0)>0

∴抛物线f(x)与x轴的两个交点都在(0,1)内

所以,方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根。

先证0<-b/3a<1.因为a+b+c=0.f(0)>0；f(1)＞0，所以有c=-（a+b)>0，所以b<-a;又3a+2b+c>0;所以b>-2a;即-2a<b<-a；所以1/3<-b/3a<2/3<1;又因为判别式4b2+12a2+12ab的判别式144b2-192b2<0所以4b2+12a2+12ab>0.因此方程f(x)=0在(0,1)内有两个实数根