已知函数f(x)＝lnxx?1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0，求函数f（x）在[m，2m]上的最大值；

已知函数f(x)＝lnxx?1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0，求函数f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：对?n∈N*，不等式ln(2+nn)＜2+nn恒成立．

（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=
1?lnx
x2
令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；
（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤
e
2 时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，
∴f（x）max=f（2m）=
ln2m
2m ?1；
②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，
∴f（x）max=f（m）=
lnm
m ?1；
③当m＜e＜2m，即
e
2 ＜m＜e时，由（1）知，f（x）max=f（e）=
1
e ?1
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（e）=
1
e ?1
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=
lnx
x ?1≤
1
e ?1，即
lnx
x ≤
1
e
当且仅当x=e时，等号成立
∴?x∈（0，+∞），恒有lnx≤
1
e x
∵
2+n
n ＞0，
2+n
n ≠e
∴ln
2+n
n ＜
1
e ×
2+n
n
∴ln(
2+n
n )＜
2+n
n

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