关于线性代数的两个问题

一、设向量组a1,a1.....an的秩为r，并且ai1,ai2...air是a1,a2...an中的r个向量，使a1，a2...an中的每个向量都可被它线性表示。证明ai1，ai2....air是a1，a2......an的一个最大无关组

二、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知a1，a2，a3是它的三个解向量，且a1+a2+a3=（1

2

3

4），求该方程组的通解。

谢谢大家，步骤写细点，这是我作业能过关就行~谢谢~~

一、反证法：若ai1，ai2....air线性相关，不妨设air能表示为其他r-1个向量的线性组合，由a1，a2...an中的每个向量都可被ai1,ai2...air线性表示可知，由a1，a2...an中的每个向量都可被ai1,ai2...air-1线性表示.从而向量组a1,a1.....an的秩为r-1，矛盾。

二、记β=（1 2 3 4）转置，四元非齐次线性方程组为AX=B,则Aβ=A（a1+a2+a3）=Aa1+Aa2+Aa3=3B,所以Aβ/3=B也是非齐次线性方程组的解，A(β/3-a1)=o, A(β/3-a2)=o,A(β/3-a3)=o,即β/3-a1, β/3-a2,β/3-a3是题设四元非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的三个解，可验证它们是线性无关的。因此它们就是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。所以方程组的通解是X=β/3+k1(β/3-a1)+k2(β/3-a2)+k3(β/3-a3)