已知A(3,5)和直线l：x-2y+2=0,B和C分别是轴和直线上的动点，则三角形ABC周长的最小值是多少

已知A(3,5)和直线l：x-2y+2=0,B和C分别是轴和直线上的动点，则三角形ABC周长的最小值是多少

用镜面对称原理

A到Y轴比X轴近 B在Y轴上

A关于 Y=X/2+1 的对称点是A'（5,1） CA+CB=CA'+CB=A'B

所以周长=AB+A'B

A关于Y轴对称点是A''(-3,5) BA+BA'=BA''+BA'=A'A''=4√5就是最小周长
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同理可证B在X轴上时，最小周长是10 > 4√5 所以B在X轴上的情况不考虑

此题主要利用对称来做，首先，假设b点固定，在l上求一点c使bc+ac最小，这可以先作出a点关于l的对称点a'，再在l上任取一点c,连接bc、ac和a'c，由于对称，可得：ac=a'c,所以bc+ac=bc+a'c,再连接a'b,在三角形a'bc中bc+a'c>bc',所以当c点为ba'与l的交点时，bc+ac最小。同理，作a点关于y轴对称点a'',由此可得：ab+bc+ca>a'a'',所以a'a''的距离即是三角形abc的最短周长。 由对称可求出：a'(5,1),a''(-3,5),有两点之间距离公式可得三角形的最短周长为4倍的根号下5.其中b点,c点依次为a'a''与y轴和l的交点.