初等行变换

初等行变换

这一步的变化是有点快，省略的太多了。
1、第一行乘以 2 加到第二行；
2、第一行乘以 -3 加到第三行；
3、第一行乘以 -4 加到第四行；
4、第二行乘以 2 加到第四行 。

写出线性方程组的增广矩阵，然后用初等行变换来解，即高斯消元法将系数(增广)矩阵化为阶梯矩阵，求出方程的解向量
1、
3 -5 2 4 2
7 -4 1 -3 5
5 7 -4 -6 3
～第2行×3减去第1行×7，第3行×3减去第1行×5
3 -5 2 4 2
0 23 -11 -37 1
0 46 -22 -38 -1
～第3行减去第2行×2
3 -5 2 4 2
0 23 -11 -37 1
0 0 0 36 -3
故36x4= -3，解得x4= -1/12，再得到x1=129/198，x2=0，x3= 25/132
而方程的系数矩阵的秩为3，所以齐次方程的通解有4-3=1个向量
显然x4=0，令x3=1，解得x1=3/23，x2=11/23
于是方程组的解为：
x=c(3/23，11/23，1，0)^T+(129/198，0，25/132，-1/12)^T （c为常数）

2、
1 -1 -3 1 1
1 -1 2 -1 3
4 -4 3 -2 10
2 -2 -11 4 0
～第2行减去第1行，第3行减去第1行×4，第4行减去第1行×2
1 -1 -3 1 1
0 0 5 -2 2
0 0 15 -6 6
0 0 -15 6 -6
～第4行加上第3行，第3行减去第2行×3
1 -1 -3 1 1
0 0 5 -2 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
显然方程的特解为：x1=2，x2=x3=0，x4= -1
而其系数矩阵的秩为2，所以齐次方程的通解有4-2=2个向量，
很容易得到解向量分别为(1，1，0，0)^T和(1，0，2，5)^T，
所以方程组的解为：
x=c1*(1，1，0，0)^T+c2*(1，0，2，5)^T+ (2，0，0，-1)^T （c1c2都为常数）