用拓扑思想或方法证明欧拉公式

用拓扑思想或方法证明欧拉公式

用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式.欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形 并且没有洞的立体）,假设F,E和V分别表示面,棱（或边）,角（或顶）的个数,那末F-E+V=2.证明 如图（图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的）：（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空 立体.（2）去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平 面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子.假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′ +V′=1.（3）对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是 说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子.每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F ′-E′+V′不变.因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变.有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上.（4）如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④ 中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有 变.（5）如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤ 中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V ′仍没有变.（6）这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止, 像图中⑥的样子.这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.（7）因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种 变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样.（8）如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其 中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点.因此F′-E′+V′仍然没有变.即F′-E′+V′=1成立,于是欧拉公式：F-E+V=2　　　得证.

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