勾股数为什么非得是正整数?

人类对于勾股数的认识可以说是源远流长,在古代的四大文明
古国(中国、埃及、印腰、和巴比伦)的史册里鄙有勾股数的记载.到 底是谁最早发现,岁月的风尘已淹没了许许多多历史的真相,但它 的发现确是人类伟大而永远的财富.
在教学研究中,我发现勾股数存在如下的规律：
1)如果a．b、C是一组勾股数,那么h、kb、kc也是一组勾股数
(其中的“k”是正整数).比如3、4、5是一组勾股数(k是“2“或“3”), 则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数.验证得知：由222abc．



所以222222222222()()()()kakbkakbkabkckc.
2)如果a=2n-1,b=2n,c=2n+l(n>1),那么a、b、c是勾股数.验证 一下：因为22222422222(1)4124(1)abnnnnnnc 所以a、b、c是勾股数.但因2n+l与2n-1只差2,所以像7、
24、25这样的勾股数就不能由这个公式给出,这一公式还是有其局 限性的.
3)对于5、12、13；7、24、25；9、40、41；1l、60、61等这样的勾股教 可以由公式a=2n+l；b=22n+2n,c=22n+2n+l得到,这容易由勾股定 理的逆定理得到验证.
通过观察分析上述勾股数,我还发现了勾股数的一些特点： 第一．如果直角三角形的短直角边为奇数,那么另一直角边和 斜边是两个连续的自然数.
第二.一个直角三角形的周长等于短直角的平方与短边自身 的和.
例如：直角三角形的三条边长是正整数,其中一条短直角边的 长度为13,求这个直角三角形的周长.
由上述特点一设这个直角三角形三个边分别是13、x、x+l,
则有：169+2x =2
x+1（）,解得x=84,那么此直角三角形的周长是：
13+84+85=182.
由上述特点二此直角三角形是以奇数为短直角边构成的直 角三角形,因此周长是169+13=182.
4)若x---2p +pq．Y=,z=2p+则x．y、z是勾殷数,此公式涵盖了自然 界的全部勾股数.
5)与勾股数有关的还有如下表达式.
(1)2222:::()/2:()/2abcmnmnmn (m、n为奇数)； (2)a=m,b=(2m-1)/2,c=(2m+1)/2 (m为奇数)；
(3)a=,b=+m,C=+m+n,(2mn为完全平方数),这里的正整数 a、b、c都满足22ab=2c.
6其实质三边是整数的直角三角形的情形就是解不定方程222xyz, 由躜此处x>O,y>O,z>O．且假定x,y互质,即（x,y）=1并且容易验证x、y中
一定是一日錾一双,不妨假定x是双数,则此不定方程—切正整数解,可以用
下列公式表示出来：x=2mn,y=22()mn,z=22mn．2(m>n>0),(m,n)=1,
m、n一单一双.
另外,勾股数组a,b、c有许多有趣的性质：
(I)a和b必然一个是奇数,一个是偶数,c必然是奇数； (2)a、b中必有一个是3的倍数； (3)a,b中必有一个是4的倍数； (4)a、b、c中必有一个是5的倍数； (5)8bc是60的倍数；
(6)a、b、c是连续自然数的只有3．4、5； (7)a、b、c构成等差数列的只有3,4、5等等.
通过查阅有关资料,我们还可知道很多勾股数的性质,在教学 中,我提醒同学们一定要掌握一些常见的勾股数组,以便今后学习 时使用.下面是我给出的a,b、c三数都小于100的勾股数,共有17 组.它们是：
3t4、5 5、12,13 7、24,25 16,63、65
1l、60、61 12、35、37 13、84、85 39、80、89 28、45、53 33、56、65 36、77、85 9、40、41 57、76、95 65、72、97 8、15、17 20、2l、29 48、55、73
趣味勾股数：88209、90288、126225,它是由297、304、425乘以 297而成.
斜边是1885的勾股数有四组： 427、1836、1885 003、1596、1885 1643、924、1885 1813、516、1885