设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，求a,b,c的值

设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，求a,b,c的值

函数y=x³+ax²+bx+c的图像过原点知：c=0
对y求导得：y'=3x²+2ax+b
因在原点相切，可知在x=0 时 y'=0得:b=0
把 b=0带入y的导数得： y'=3x²+2ax
令y'=0得：x=0或x=-2a/3
即当x=0或x=-2a/3函数y达到极值
把x=-2a/3带入函数得：y=（-2a/3）³+a(-2a/3)²=4a³ /27=-4得：a=-3

试题 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ）处相切，求a，b，c的值．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：计算题．

分析：求出f′（x），因为函数在x=-2处取得极值，所以f′（-2）=0，又因为函数与直线在点 （1，0 ）处相切，所以f′（1）=-3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．

解答：解：∵f′（x）=3x²+2ax+b ∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0 ∴12-4a+b=0 又f′（1）=3+2a+b=-3 ∴a=1，b=-8 又f（x）过点（1，0） ∴1³+a×1²+b×1+c=0 ∴c=6

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会求二元一次方程组解集的能力．

解：由图可知：f(0)=0,f'(0)=0 即f(0)=c=0 又f'(x)=3x^2+2ax+b 所以f'(0)=b=0 则f(x)=x^3+ax^2，f'(x)=3x^2+2ax 令f'(x)=0得：3x^2+2ax=0 解得：x=0，x=-2a/3 因为函数的极小值为-4 所以f(-2a/3)=(-2a/3)^3+a(-2a/3)^2=-4 -8a^3/27+4a^3/9=-4 a^3=-27 a=-3 综上a=-3，b=c=0