√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b) a,b 的范围
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解决时间 2021-04-06 05:55
- 提问者网友：太高姿态
- 2021-04-05 06:03
√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b) a,b 的范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：青灯有味
- 2021-04-05 07:13
解：a、b均为正数
1、∵(a-b)²≥0
=>a²+b²≥2ab
=>√［（a²+b²）/2］=√［（a²+b²+a²+b²）/4］≥√［（a²+b²+2ab）/4］=√(a+b)²=a+b
即：√［（a²+b²）/2］≥a+b
2.∵（√a-√b）²≥0
=>a+b≥2√ab
=>（a+b）/2≥√ab
3.2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）
又∵a+b≥2√ab
=>2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）≤2ab/2√ab=√ab
即：√ab≥2/（1/a+1/b）
综合得出：√［（a²+b²）/2］≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b） （a,b均为正数）
1、∵(a-b)²≥0
=>a²+b²≥2ab
=>√［（a²+b²）/2］=√［（a²+b²+a²+b²）/4］≥√［（a²+b²+2ab）/4］=√(a+b)²=a+b
即：√［（a²+b²）/2］≥a+b
2.∵（√a-√b）²≥0
=>a+b≥2√ab
=>（a+b）/2≥√ab
3.2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）
又∵a+b≥2√ab
=>2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）≤2ab/2√ab=√ab
即：√ab≥2/（1/a+1/b）
综合得出：√［（a²+b²）/2］≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b） （a,b均为正数）
全部回答
- 1楼网友：詩光轨車
- 2021-04-05 08:56
这是四个均值之间的不等关系，条件是a>0,b>0
取等条件是：当且仅当a=b时取等
- 2楼网友：雪起风沙痕
- 2021-04-05 07:48
先证√[（a²+b²)/2]≥(a+b)/2
平方得（a²+b²)/2≥（a²+b²+2ab)/4
即a²+b²≥2ab
显然成立
再证(a+b)/2≥√ab
即证a+b≥2√ab
由均值不等式知其成立
接下来证√ab≥2/(1/a+1/b)
即证1/a+1/b≥2/√ab
同乘以ab即
a+b≥2√ab
显然成立
综上命题得证
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