高数向量证明(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a
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解决时间 2021-01-27 18:03
- 提问者网友：辞取
- 2021-01-27 11:28
高数向量证明(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a
最佳答案
- 五星知识达人网友：像个废品
- 2021-01-27 12:43
以下a,b,c均表示向量。
取一个右手直角坐标系，设
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3).
由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以(axb)xc的第一个坐标为
(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.
另一方面，(a·c)·b-(b·c)·a的第一个坐标为
(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2
因此等式两边的向量的第一个坐标相等，同理可证其他两个坐标也相等，从而等式成立
取一个右手直角坐标系，设
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3).
由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以(axb)xc的第一个坐标为
(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.
另一方面，(a·c)·b-(b·c)·a的第一个坐标为
(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2
因此等式两边的向量的第一个坐标相等，同理可证其他两个坐标也相等，从而等式成立
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- 1楼网友：摆渡翁
- 2021-01-27 14:02
a=(a1,a2,a3);b=(b1,b2,b3);c=(c1,c2,c3)
a×b=| i j k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理，(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c1a2-b1c3a2+b1c2a3-a2c1a3整理得
=b2c3a1+b3c1a2+b1c2a3-c2b3a1-b1c3a2-a2c1a3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理可求得(c*a)*b
比较得:(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,
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