一个关于三等分角的证明题（数学高手进）

如图 任意三角形ABC，三等分各角，两两交与DEF,连结CE,BD,AF,求证三线交与一点

谁能做出来加分啊

这道题目的基本元素就只有ABC三个角度（因为这三个角确定了，图形也就确定了），所以图形中的任意角都可以用这三个角表示

基本思路是用角度的塞瓦定理（数学竞赛平面几何基本定理之一，随便一本竞赛书上都能查到），即SINBAF/SINFAC*SINCBD/SINDBA*SINACE/SINECB=1

设∠BAF=x,

∠CAF=y,

∠ABF=2A,则∠FBC=A

∠ACF=2B,则∠FCB=B

BF=a,

CF=b,

AF=c，

三角形AFB中用正弦定理：sinx/a=sin2A/c

同理，在三角形ACF中：siny/b=sin2B/c

解得sinx=asin2A/c, siny=bsin2B/c

∴sinx/siny=(asin2A)/(bsin2B) (1)

三角形BFC中用正弦定理：sinA/sinB=b/a

代入（1）

得sinx/siny=(sinBsin2A)/(sinAsin2B)=(sinB 2sinAcosA)/(sinA 2sinBcosB)=cosA/cosB

所以sin∠BAF/sin∠CAF=cosA/cosB

其他的∠DBC/DBA和∠ECB/ECA都同理可证，分别用cosA和cosB以及另外设的角cosC代替

最后化为cosA/cosB cosB/cosC cosC/cosA=1的形式

也即塞瓦定理的角度形式