求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)

求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)

你好

令Sn=x+2x²+3x³+…+nx^n （1）
则xSn=x²+2x³+…+（n-1）x^n+nx^（n+1） （2）
（1）-（2）
（1-x）Sn=x+x²+x³+…+x^n -nx^（n+1）
=x（1-x^n）/（1-x） -nx^（n+1）
=[x-x^（n+1）-nx^（n+1）*（1-x）]/（1-x）
=[x-x^（n+1）-x^（n+1）*（n-nx）]/（1-x）
=[x-x^（n+1）*（1+n-nx）]/（1-x）
Sn=[x-x^（n+1）*（1+n-nx）]/（1-x）²

【数学辅导团】为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢！

解:

错位相减法:

s=x+2x²+3x³+…+nx^n------------------(1)

xs=x²+2x³+…+nx^(n+1)----------------(2)

(1)-(2)得:

(1-x)s=x+x²+x³+…+x^n-nx^(n+1)=[x(1-x^n)/(1-x)]-nx^(n+1)=[x(x^n-1)-(x-1)nx^(n+1)]/(x-1)

=[(n+1)x^(n+1)-x-nx^(n+2)]/(x-1)

s=-[(n+1)x^(n+1)-x-nx^(n+2)]/(x-1)^2=[x+nx^(n+2)-(n+1)x^(n+1)]/(x-1)^2