怎样证明f(n)=(n+1/n)的n次方在[0,+无穷]上是单调增函数？

据说e=(n+1/n)的n次方，n趋向于无限大；随着n的增加，得数也越来越大，逐渐接近e的值，但是怎么证明它是变大的？

我知道有两种证法

第一种

f(n+1)/f(n)

=[1+1/(n+1)][1+1/(n+1)]^n/(1+1/n)^n

=[(n+2)/(n+1)]×{[n(n+1)+n]/[n(n+1)+n+1]}^n

>[(n+2)/(n+1)]×{[n(n+1)+n]/[n(n+1)+n+1]}×{[n(n+1)+n-1]/[n(n+1)+n]×……×{[n(n+1)+1]/[n(n+1)+2]}

=[(n+2)/(n+1)]×[n(n+1)+1]/[n(n+1)+n+1]

=(n+2)(n^2+n+1)/(n+1)^3

=(n^3+3n^2+3n+2)/(n^3+3n^2+3n+1)

>1

所以f(n+1)>f(n)

第二种方法

分别将f(n)=(1+1/n)^n以及f(n+1)=[1+1/(n+1)]^(n+1)二项式展开，通过比较可以知道展开后f(n)的每一项都小于等于f(n+1)的项，且f(n+1)还比f(n)多一项，所以f(n)<f(n+1) 。

不知道你们有没有学二项式定理，具体过程我就不细说了。如果你有更好的方法也欢迎你告诉我。

二楼这位仁兄只能证明它的递增，但却不能证明它的有界。能否把另一半也想办法证明了。因为我也纠结于这个问题。。。

首先住取x,k属了该定义域上,且x<k,则f(x)=x+1/x,减去f(k)=K+1/k.会小于0,所以f(x)>f(K),所以该函数在该定义域上是单调递减的. 谢谢采纳.......