已知tanα , tanβ是方程x^2-5x+6=0的两个实根,则2(sin(α+β))^2-3sin(α+β)cos(α+β

已知tanα , tanβ是方程x^2-5x+6=0的两个实根,则2(sin(α+β))^2-3sin(α+β)cos(α+β

【分析】
①本题考查了方程的根与系数的关系，两角和的正切公式，三角函数的同角平方关系在化简中的技巧：1=sin2θ+cos2θ的应用，特殊角的三角函数值；
②由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值，进而可以求出tan(α+β)的值，再将所求值的三角函数式用tan(α+β)表示便可知其值；
方法一：把原式的分母添“1”，并作1=sin2(α+β)+cos2(α+β)的代换，进而求值；
方法二：tan(α+β)的值可求α+β，然后代入所求的式子中可求。
【解答】
解法一：
由韦达定理得：
tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6
所以
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
=5/(1-6)
=-1
原式=
[2sin²(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos²(α+β)]/[sin²(α+β)+cos²(α+β)]
=[2tan²(α+β)-3tan(α+β)+1]/[tan²(α+β)+1]
=[2×1-3×(-1)+1]/(1+1)
=3
解法二：
由韦达定理得：
tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，
所以
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
=5/(1-6)
=-1
于是有：
α+β=kπ+(3/4)π (k∈Z)
原式
=2sin²(kπ+3π/4)-(3/2)sin(2kπ+3π/2)+cos²(kπ+3π/4)
=1+3/2+1/2
=3

最后一步算错了我。是2+1/2+1/2=3.   ^_^