圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。没明白
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解决时间 2021-11-24 05:25
- 提问者网友:流星是天使的眼泪
- 2021-11-23 18:52
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。没明白
最佳答案
- 五星知识达人网友:猎心人
- 2021-11-23 19:40
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.
证明:
情况1:
如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
图1
∵OA、OC是半径
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
图3
连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解:∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO(等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
证明:
情况1:
如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
图1
∵OA、OC是半径
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
图3
连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解:∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO(等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
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