已知函数f(x)=e^x-ax,其中a>0.若对一切x属于R.f(x)>=1恒成立，求a的取值集合。
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解决时间 2021-02-06 05:00
- 提问者网友：送舟行
- 2021-02-05 14:13
已知函数f(x)=e^x-ax,其中a>0.若对一切x属于R.f(x)>=1恒成立，求a的取值集合。
最佳答案
- 五星知识达人网友：青尢
- 2021-02-05 15:21
f(x)≥0恒成立也就是e^x≥ax+1恒成立，画出y=e^x及y=ax+1的图像，
e^x≥ax+1恒成立就是y=e^x的图像在y=ax+1的图像的上方，
而这两个函数的图像都过点(0，1)
所以要使y=e^x的图像在y=ax+1的图像的上方，直线y=ax只能与曲线y=e^x相切，且切点为(0，1)
而y'=(e^x)'=e^x
所以当x=0时，曲线y=e^x的切线斜率为1
而直线y=ax+1的斜率为a，所以a=1
e^x≥ax+1恒成立就是y=e^x的图像在y=ax+1的图像的上方，
而这两个函数的图像都过点(0，1)
所以要使y=e^x的图像在y=ax+1的图像的上方，直线y=ax只能与曲线y=e^x相切，且切点为(0，1)
而y'=(e^x)'=e^x
所以当x=0时，曲线y=e^x的切线斜率为1
而直线y=ax+1的斜率为a，所以a=1
全部回答
- 1楼网友：青尢
- 2021-02-05 16:54
f(x)=e^x-ax
f'(x)=e^x-a
f'(x)=e^x-a>0时
e^x>a
x>lna单调递增
f'(x)=e^x-a<0时
x=1
f'(a)=1-1-lna=-lna
f'(a)=-lna<0时
a>1单调递减
f'(a)=-lna>0时
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