（1，∞）∑[cos（2nπ/3）/2^n ]
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解决时间 2021-03-31 19:38
- 提问者网友：树红树绿
- 2021-03-30 21:08
（1，∞）∑[cos（2nπ/3）/2^n ]
最佳答案
- 五星知识达人网友：由着我着迷
- 2021-03-30 22:44
e^(ix)=cosx+isinx (棣美弗公式)
∴cos(α+2π*k/n)+isin(α+2π*k/n)=e^(i(α+2π*k/n))
∴cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]+i(sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n])
=e^(iα)+e^(i(α+2π/n))+...+e^(i(α+2π*(n-1)/n))
=e^(iα)(1+e^(i(2π/n))+...+e^(i(2π*(n-1)/n)))
=e^(iα)(1+e^(i(2π/n))+...+e^(i(2π*(n-1)/n)))
=e^(iα)[(1-e^(i(2π*n/n))]/(1-e^(i(2π/n)) (等比数列求和)
=e^(iα)*0/(1-e^(i(2π/n))
=0
∴cos(α+2π*k/n)+isin(α+2π*k/n)=e^(i(α+2π*k/n))
∴cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]+i(sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n])
=e^(iα)+e^(i(α+2π/n))+...+e^(i(α+2π*(n-1)/n))
=e^(iα)(1+e^(i(2π/n))+...+e^(i(2π*(n-1)/n)))
=e^(iα)(1+e^(i(2π/n))+...+e^(i(2π*(n-1)/n)))
=e^(iα)[(1-e^(i(2π*n/n))]/(1-e^(i(2π/n)) (等比数列求和)
=e^(iα)*0/(1-e^(i(2π/n))
=0
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