0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平

0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为1/2设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平

一个焦点是F(1,0),那么c=1离心率e=c/a=1/2,∴a=2b²=a²-c²=3∴椭圆C的方程:x²/4+y²/3=1MN斜率不存在时P(0,0),即y0=0MN斜率存在时,设为k,k≠0则MN：y=k(x-1) 代入x²/4+y²/3=13x²+4k²(x-1)²=12(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0Δ>0恒成立设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点Q(x',y')∴2x'=x1+x2=8k²/(4k²+3)∴x'=4k²/(4k²+3),y'=k(x'-1)=-3k/(4k²+3)∵线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0）∴kPQ*k=-1即(y0-y')/(-x')*k=-1∴y0-y'=x'/ky0=y'+x'/k=-3k/(4k²+3)+4k/(4k²+3)=k/(4k²+3)=1/(4k+3/k)当k>0时,4k+3/k≥2√(4k*3/k)=4√3∴0