问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，

问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，

（1）作图见解析；（2）作图和理由见解析；（3）存在，理由见解析.

试题分析：（1）圆内两条互相垂直的直径即达到目的；（2）连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分，可应用△AOP≌△EOB得出结论；（3）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解. 试题解析：（1）如图①所示： （2）如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分. 理由如下： ∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心. ∴AP=CQ，EB=DF. 在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE. ∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）.∴AP="BE=DF=CQ" . ∴AE=BQ=CF=PD. 设点O到正方形ABCD一边的距离为 . ∴ . ∴ . ∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分. （3）存在. 当BQ=CD= 时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下： 如图③，延长BA至点E，使AE= ，延长CD至点F，使DF= ，连接EF. ∴BE∥CF，BE="CF." ∴四边形BCFE为平行四边形. ∵BC=BE= + ，∴平行四边形DBFE为菱形. 连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF. ∴AM=DM，即点P、M重合. ∴点P是菱形EBCF对角线的交点. 在BC上截取BQ=CD= ，则CQ=AB= . 设点P到菱形EBCF一边的距离为 ， ∴ . ∴当BQ= 时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.