已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经

已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?

圆C：(x-1)²+(y-2)²=9, 圆心C(1,2)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵直线y=kx-1垂直平分AB
∴直线y=kx-1过圆心,
把C(1,-2)代入,得k=-1
∵AB与直线y=kx-1垂直
∴K(AB)=1,
设AB：y=x+b
联立：
y=x+b
x²+y²-2x+4y-4=0
得：2x²+(2+2b)x+b²+4b-4=0 …………①
x1x2=(b²+4b-4)/2, x1+x2= -b-1
y1y2
=(x1+b)(x2+b)
=x1x2 + b(x1+x2) + b²
=(b²+4b-4)/2 - b² - b + b²
=(b²+2b-4)/2
∵以AB为直径的圆经过原点O
∴向量OA⊥向量OB
∴x1x2+y1y2=0
即(b²+4b-4)/2 + (b²+2b-4)/2 =0
即b²+3b-4=0
b=-4或1
∴AB：y=x-4或y=x+1
把b=-4代入①式中,得
x= (3±√17)/2
∴A((3+√17)/2,(√17-5)/2),B((3-√17)/2,-(√17+5)/2)
把b=1代入①式中,得
x= (-2±√2)/2
∴A((-2+√2)/2,√2/2),B((-2-√2)/2,-√2/2)
综上,A((3+√17)/2,(√17-5)/2),B((3-√17)/2,-(√17+5)/2)
或A((-2+√2)/2,√2/2),B((-2-√2)/2,-√2/2)
∴存在.