解答题已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a

解答题 已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．

解：（1）因为an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0，又an＞0，所以有2an-an+1=0，所以2an=an+1，所以数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2，故an=2n（n∈N*）
（2）nan=n?2n，Sn=2+2?22+3?23+…+（n-1）?2n-1+n?2n①2Sn=22+2?23+3?24+…+（n-1）?2n+n?2n+1②
①-②有-Sn=2+22+23+…+2n-n?2n+1
故Sn=（n-1）?2n+1+2（n∈N*）解析分析：（1）将an+12=2an2+anan+1，化简为（an+1+an）（2an-an+1）=0，又an＞0，得出2an=an+1，数列{an}是公比为2的等比数列．（2）利用错位相消法求和即可．点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．

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