A,B,C是三角形内角,证明(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)<2

A,B,C是三角形内角,证明(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)<2

第一部分

楼主有没有试过逐步调整法？

显然 cosA+cosB+cosC > 0 ，令 f(A,B) =2(cosA+cosB+cosC)-(sinA+sinB+sinC)=2[cosA+cosB-cos(A+B)]-[sinA+sinB+sin(A+B)]，由 ∂f/∂A=0，∂f/∂B=0，易得 A=B=π/3，1/40,√5/2[sin(θ-A)+sin(θ-B)+sin(θ-C)]>0,sinθ=2/√5,cosθ=1/√5,tanθ=2,为了方便取θ=63，反函数表示麻烦，sin(θ-A)+sin(θ-B)+sin(θ-C)>0,sin(A-θ)+sin(B-θ)+sin(C-θ)<0, 考虑到对称性设B最大≥60,Α最小≤60,sin(A-θ)+sin(B-θ)+sin(180-A-B-θ)=sin(A-θ)+sin(B-θ)+sin(A+B+θ)=f(A,B)分别对A,B求偏导得cos(A-θ)+cos(A+B+θ)=0,cos(B-θ)+cos(A+B+θ)=0,由cos(A-θ)=cos(B-θ)可以推出①A=B,此时A=60,B=60, c也是60，代入函数式它小于0，它一定是最值，在定义域任意找一点A=90,B=60,C=30,小于它，三个60对应的是最大值小于0，都小于0，②A≠B,A-θ在-63到-3，B-θ在-3到117，还只有第二种情况A-θ=θ-B,2θ=A+B,代入cos(A-θ)+cos（A+B+θ)=0，cos(A-θ)+cos3θ=0,3θ≈189,余弦为负,A-θ在-63到-3,3θ-180=θ-A,A≈54,2θ=A+B,B≈72,C≈54,这种情况下求出的结果代入函数式后没有第一种情况大，总之最大的情况是都是60度，它小于0，故整个定义域的都小于0，不管我的答案对不对再次感谢云雨雷电风先生的答案！！！

为了求得极大值，我们希望sinA+sinB+sinC尽量大，而cos值尽量小，则有A，B都接近90度时：
sinA+sinB+sinC约等于2； 此时cosA+cosB+cosC约为1； 由于A,B 两个分量接近90度速度肯定小于C一个分量接近0度的速度； 所以要<2,
haha,我说的肯定是对的，能不能给200分给我：）

对锐角三角形
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB同理
sinBsinCso
sinA+sinB+sinC<2(cosA+cosB+cosC) 得证。
对直角，不妨设A为直角
sinA+sinB+sinC=1+sinB+cosB
cosA+cosB+cosC=0+cosB+sinB
很明显有1so
1+sinB+cosB<2(cosB+sinB) 得证。
对钝角，还要考虑下