设H、K都是群G的子群，设|H|=m，|K|=n且（m，n）=1，证明：H∩K={e}。如题 谢谢了

设H、K都是群G的子群，设|H|=m，|K|=n且（m，n）=1，证明：H∩K={e}。如题 谢谢了

证明： 显见{e}包含于H∩K,H∩K≠Φ。任意的a，b∈H∩K,则a，b∈H且a，b∈K，又H、K为G的子群， 故a(b^-1)∈H且a(b^-1)∈K。即 a(b^-1)∈H∩K,故H∩K≤H，H∩K≤K。从而由拉格朗日定理知 |H∩K| 整除m且 |H∩K|整除n 因此|H∩K|整除（m，n），又（m，n）=1，故必有 |H∩K|=1，所以 H∩K={e}

h∩k还是群，且分别是h和k的子群。 于是|h∩k|必分别整除m和n 如果不为|h∩k|≠1，则与(m,n)=1矛盾