设f（x）可导,F(x)=f（x)(1+|sinx|）则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的充分必
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解决时间 2021-03-07 14:48
- 提问者网友：感性作祟
- 2021-03-07 05:44
设f（x）可导,F(x)=f（x)(1+|sinx|）则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的充分必
最佳答案
- 五星知识达人网友：空山清雨
- 2021-03-07 07:15
①充分性： f(0)=0 ,则：F'(0)=lim(x->0) [f(x)(1+|sinx|)-f(0)(1+|sin0|]/x=lim(x->0) f(x)(1+|sinx|)/x=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x* (1+|sinx|)= f'(0)*1= f'(0)②必要性：F（x）在x=0处可导,则：F'(0+0)=F'(0-0)由导数极限定理【此处也可改为极限式计算】：F'(0+0) =lim(x->0+) [f(x)(1+sinx)]'=lim(x->0+) [f'(x)(1+sinx)+f(x)*cosx]=f'(0)+f(0)F'(0-0) =lim(x->0+) [f(x)(1-sinx)]'=lim(x->0+) [f'(x)(1-sinx)-f(x)*cosx]=f'(0)-f(0)∵F'(0+0)=F'(0-0)∴f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0)∴ f(0)=0
全部回答
- 1楼网友：duile
- 2021-03-07 07:36
感谢回答，我学习了
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