高一数学………如图……求解………

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4.1尧相互认识与比赛次数问题　　定义和定理引入：　　定义：　　图：有若干个不同的顶点与连结其中某些顶点的边所组成的图形,其中顶点的个数称为阶.　　相邻：若图中的两个顶点之间有边相邻,则称这两点相邻；如果顶点是一个边的端点,则称这个点是与这条边是相邻的.　　环：有些顶点本身也是有边相连的,这样的边称为环.　　平行边或重边：若两顶点之间有K（K≥2）条边相连,则称这些边为平行边或重边.　　度：图G中与顶点V相邻的边数（约定环算做两条边）称为G中点V的度,记做d(v)；若点V的度数为奇数,则称V为图G的奇顶点；若点V的度数为偶数,则称为图G的偶顶点；　　简单图：如果图G中没有环,也没有平行边,则称图G为简单图.　　定理1：设G是n阶图,则G中n个顶点的度之和等于边数的两倍.　　即d(V1)+d(V2)+A+d(Vn)=2e（.其中e为边数）　　定理2：对于任意的图G,奇顶点的个数一定是偶数.例3：某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛,每人至少上场一次.证明：必有六场比赛,其中12个参赛者各不相同.（美国数学奥林匹克试题,1989年）　　分析：我们用20个点v1、v2、……、v20代表20名成员,两名选手比赛过,则在相应的顶点间连一条边,则可得到图G.由题意可知,图G中有14条边,并且有d(vi)≥1,i=1,2,……,20.由定理1,d(v1)+d(v2)+……+d(v20)=2×14=28.　　在每个顶点vi处抹去d(vi)-1条边,由于一条边可能同时被两个端点抹去,所以抹去的边最多是(d(v1)-1)+(d(v2)-1)+L+(d(v20)-1)=28-20=8（条）,故所抹去这些边后所得的图F中至少还有148=6条边,且图F中每个顶点的度至多为1.从而这6条边所相邻的12个人是各不相同的,即这6条边所对应的6场比赛的参赛者各不相同.

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