设abc为正实数,求证:a+b+c<=(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b<=a^3/bc+b^3/ca+c
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解决时间 2021-03-18 12:42
- 提问者网友：凉末
- 2021-03-17 21:58
设abc为正实数,求证:a+b+c<=(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b<=a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab
最佳答案
- 五星知识达人网友：白昼之月
- 2021-03-17 22:57
由均值不等式：a+b≥2√ab及平方均值不等式：（a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²得：
(a²+b²)/(2c) + c≥2√(a²+b²)/2≥a+b;
即：(a²+b²)/(2c)+c≥a+b;
同理(b²+c²)/(2a)+a≥b+c;
(a²+c²)/(2b)+b≥a+c;
以上三个同向不等式相加得：（a²+b²)/(2c) +(b²+c²)/(2a)+(a²+c²)/(2b)≥a+b+c
(a²+b²)/(2c) + c≥2√(a²+b²)/2≥a+b;
即：(a²+b²)/(2c)+c≥a+b;
同理(b²+c²)/(2a)+a≥b+c;
(a²+c²)/(2b)+b≥a+c;
以上三个同向不等式相加得：（a²+b²)/(2c) +(b²+c²)/(2a)+(a²+c²)/(2b)≥a+b+c
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